Сетевые модели

Специальность: "Математические методы в экономике" (дисциплина специализации)
Семестр: 7 (осенний, 4 курс)
Виды занятий: лекции – 38 час., семинарские занятия – 19 час.
Форма отчетности: зачет
Автор программы: Зоркальцев В.И., д.т.н., профессор

 

Тема 1. Введение: две взаимодвойственные сетевые модели экономики
1. Основные понятия теории графов и сетей.
2. Модели сетевого планирования и их приложения в строительстве, в разработке и управлении крупными проектами. Математическое представление моделей в наглядной форме и в виде задач линейного и нелинейного программирования.
3. Двойственные задачи к задачам сетевого планирования. Задача о максимальном потоке, о потоке с минимальной стоимостью перевозок.
4. Методические замечания. О роли двойственности в теории оптимизации экономических систем. О принципах оптимальности в физике. О роли аналогии для исследования физических, технических и экономических систем.
 

Тема 2. Сопряженные штрафные функции
5. Аксиоматическое определение и математические свойства рассматриваемого класса штрафных функций. Пары сопряженных функций из данного класса, производные которых являются взаимнообратными функциями. Связь с сопряженными функциями Фенхеля и Лежандра.
6. Использование сопряженных функций для выражения прямой и обратной зависимости тока и напряжения в проводнике в линейном (закон Ома) и нелинейном случаях. Описание и свойства простейшей двухэлементной электрической цепи: проводник – источник энергии (в т.ч. источник тока или источник напряжения).
 

Тема 3. Теория симметричной двойственности для задачи минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях
6. Выпуклые дифференцируемые функции, нелинейная составляющая которых является сепарабельной функцией, составленной из штрафных функций. Задача минимизации выпуклой функции и двойственная к ней задача оптимизации. Условие оптимальности. Функции Лагранжа для обеих задач. Симметричная двойственность – двойственная к двойственной совпадает с исходной задачей оптимизации.
7. Самосопряженная задача оптимизации, составленная из пары взаимно двойственных задач и ее свойства.
 

Тема 4. Приложения симметричной двойственности в теории электрических и гидравлических цепей, в моделях оптимизации перевозок с нелинейными затратами
8. Модели потокораспределения – электрические, гидравлические цепи, распределение перевозок грузов по транспортным магистралям. Аналогии.
9. Интерпретация исходной задачи оптимизации, двойственной задачи оптимизации, системы уравнений, выражающей условия оптимальности для обеих задач.
10. Симметрия ограничений, выражающих I и II-ой законы Кирхгофа для электрических и гидравлических цепей. Симметрия переменных: сила тока – напряжение, поток – давление. Экономическая интерпретация двойственности ограничений и переменных для задачи оптимизации грузоперевозок.
 

Тема 5. Алгоритмы решения задач потокораспределения
11. Возможность использования методов, разработанных для расчета электрических, гидравлических цепей и методов решения задач выпуклого программирования для решения и расчета потокораспределения в разных областях.
12. Алгоритмы, ориентированные на решение систем уравнений. Метод контурных токов (потоков). Метод узловых потенциалов (давлений).
13. Решение прямой задачи оптимизации методом проекции градиента.
14. Сведение двойственной задачи к проблеме безусловной оптимизации. Возможность применения методов наискорейшего спуска и метода Ньютона.
 

Тема 6. Задача оптимизации грузоперевозок
15. Аналогии с электрическими и гидравлическими цепями. Экономическая интерпретация и роль двойственных переменных.
16. Некоторые обобщения. Понятие точек Нэша для задачи оптимизации перевозок несколькими независимыми перевозчиками на единой транспортной сети.

 

ЛИТЕРАТУРА:
1. Кофман А, Д. Дебазай Г. Сетевые методы планирования. – М.: Прогресс. – 1968.
2. Мищенко А.М. Лекции по электротехнике. - Новосибирск: НГУ. – 2003.
3. Денис Дж. Б. Математическое программирование и электрические цепи. – М.: Изд-во иностр.лит-ры. - 1981.
4. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. – М.: Наука. – 1988.
5. Зоркальцев В.И. Симметричная двойственность. Приложения в моделях электрических и гидравлических цепей. – Иркутск: ИСЭМ СО РАН. – 2004.