ГАК

Специальность "Математика"

Алгебра и теория чисел

Группы и подгруппы. Фактор - группа по нормальной подгруппе. Циклические группы. Порядок элемента в группе. Группы подстановок. Разложение подстановки в произведение циклов. четность подстановки. Определители матриц. Разложение определителя по строке (столбцу). Критерий существования и способы вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы и способы его вычисления. Методы решения систем линейных уравнений. Фундаментальные решения однородной системы. Линейные пространства и подпространства. Сумма и пересечение подпространств, их базисы и размерности. Матрица линейного оператора, переход к другому базису. Ядро, собственные значения и векторы оператора. Жорданова форма оператора. Метод построение ортогонального базиса а евклидовом пространстве. Кольцо классов вычетов и его мультипликативная группа. Способы вычисления обратного вычета. Теоремы Эйлера и Ферма. Первообразные корни и индексы. Сравнения первой и второй степени. Символ Лежандра. Квадратичный закон взаимности. Цепные дроби. Разложение действительного числа в цепную дробь. Свойства подходящих дробей. Оценка погрешности приближений.

Аналитическая геометрия

Векторы. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное уравнение векторов. Координаты вектора на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Уравнение линии. Линии первого порядка. Способы задания уравнений прямой на плоскости и в пространстве. Линии второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Полярное уравнение кривых второго порядка. Уравнение поверхности. Поверхности первого порядка. Способы задания уравнения плоскости. Поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.

Дифференциальная геометрия

Понятие кривой. Касательная прямая. Длина дуги кривой. Естественный параметр. Соприкасающаяся плоскость. Трехгранник Френь. Кривизна кривой. Кручение пространственной кривой. Деривационные формулы Френь. Натуральные уравнения кривой. Винтовая линия. Поверхности в . Кривые на поверхности. Координатные линии. Касательная плоскость. квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь области на поверхности. квадратичная форма. Кривизна кривой на поверхности. Главные направления и главные нормальные кривизны. Экстремальные свойства главных направлений. Изометричные поверхности. Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Геодезические линии.

ТФКП

Комплексные числа, комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа, их свойства; расширенная комплексная плоскость. Функции комплексного переменного, элементарные функции и отображения множеств; дифференцируемость по комплексному переменному, условие Коши - Римана; аналитическая функция; геометрический смысл аргумента и модуля производной. Интеграл по комплексному переменному; связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода, сведение к интегралу по действительному переменному; формула Ньютона-Лейбница; интегральная теорема Коши; интегральная формула Коши; Степенные ряды; разложение аналитической функции в степенной ряд; ряд Лорана; Изолированные особые точки однозначного характера, классификация изолированных особых точек; вычеты; применение вычетов.

Уравнения с частными производными

Теорема Коши-Ковалевской. Понятие характеристического направления, характеристики. Приведение к каноническому виду и класстфикация линейных и нелинейных уравнений с частными производными второго порядка. Решение задачи Коши для уравнений гиперболического и параболического типов методом характеристик. Волновое уравнение. Единственность решения задачи Коши и смешанной задачи. Формулы Кирхгофа, Пуассона, Даламбера. Метод Фурье для уравнения колебаний струны, общая схема метода Фурье. Уравнения Лапласа и Пуассона. Формулы Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Свойства гармонических функций. Единственность решения основных краевых задач для уравнения Лапласа. Функция Грина задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре и полупространстве. Уравнение теплопроводности. Принцип максимума в ограниченной областии единственность решения задачи Коши. Понятие корректной краевой задачи. Примеры корректных и некорректных задач.

Теория вероятностей

Вероятность и её свойства. Классическое определение вероятности. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема последовательных независимых испытаний Бернулли. Случайные величины. Функция распределения случайных величин. Плотность распределения. Моменты случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Системы случайных величин. Таблица распределения, функция распределения и плотность распределения системы двух случайных величин, их свойства. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Законы распределения функций случайных аргументов. Независимость случайных величин. Точечные оценки, несмещенность, состоятельность, эффективность. Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия. Метод моментов. Интервальные оценки, построение доверительных интервалов.

Дискретная математика и математическая логика

Логика предикатов . Высказывания. Логические связки. Таблицы истинности. Формулы. Тождественно истинные формулы. Выполнимые формулы.
Исчисление высказываний . Аксиомы. Правила вывода. Допустимые правила вывода. Теорема об адекватности исчисления высказываний логике высказываний. Эквивалентные формулы.
Логика предикатов . Кванторы. Формулы. Интерпретации. Истинность формулы при данной интерпретации. Тождественно истинные формулы. Выполнимые формулы.
Исчисление предикатов . Правила вывода. Теорема об адекватности исчисления предикатов логике предикатов.
Булевы функции . Термальные (формульные) представления булевых функций. СДНФ, СКНФ, полиномы Жегалкина. Замкнутые классы. Теорема о функциональной полноте.
Теория помехоустойчивого кодирования . Линейные коды. Коды Хэмминга. Коды Рида-Маллера.

Дифференциальные уравнения

  1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений.
  2. Общая теория линейного однородного уравнения.
  3. Неоднородные линейные уравнения.
  4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
  5. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
  6. Уравнения Эйлера.
  7. Системы линейных дифференциальных уравнений.
  8. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.
  9. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений.
  10. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Математический анализ

  1. Предел функции. Методы вычисления пределов функций (применение формул сокращенного сложения и умножения, замечательные пределы, правило Лопиталя, эквивалентные функции, формула Тейлора).
  2. Производная и дифференциал функции. Техника дифференцирования.
  3. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям). Классы интегрируемых функций.
  4. Определенный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.
  5. Исследование на экстремум функций многих переменных.
  6. Двойные и тройные интегралы. Замена переменных в кратных интегралах (переход к полярным, сферическим, цилиндрическим координатам).
  7. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда.
  8. Интегрирование функций комплексного переменного по замкнутому 

Линейная алгебра

  1. Матрицы: основные операции над матрицами; обратная матрица.
  2. Группы: примеры групп; подгруппы; смежные классы; теорема Лагранжа; нормальные подгруппы и фактор-группы; теорема о гомоморфизмах; центр и коммутант группы; группа подстановок (четность подстановки, разложение подстановок в произведение транспозиций и в произведение циклов).
  3. Кольца и поля: примеры колец и полей; основные свойства колец, делитель нуля, область целостности, вложение в поле частных; характеристика поля; простые подполя. Примеры конечных полей.
  4. Кольцо многочленов: определение и основные свойства, степень многочлена; делимость в кольце многочленов (евклидовы кольца, теорема о деление с остатком, наибольший общий делитель, алгоритм Евклида); взаимно-простые и неприводимые (простые) элементы, теорема о разложении на неприводимые множители; корни многочленов ( теорема Безу, схема Горнера, теорема о числе корней); интерполяционные формулы. 

Функциональный анализ и интегральные уравнения

  1. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Всюду плотные множества. Полные метрические пространства. Пополнение метрических пространств.
  2. Компактные множества в метрических пространствах.
  3. Принцип сжимающих отображений.
  4. Банахово и гильбертово пространство. Теорема о параллелограмме. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном разложении гильбертова пространства.
  5. Задача о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве.
  6. Линейные операторы. Ограниченные и неограниченные операторы. Вычисление нормы линейного ограниченного оператора.
  7. Виды сходимости последовательностей линейных ограниченных операторов. Теорема Банаха-Штейнхауза.
  8. Обратный оператор. Теорема о существовании ограниченного обратного оператора. Теорема Банаха об обратном операторе.
  9. Спектр и резольвента линейного оператора. Свойства спектра и резольвенты линейного ограниченного оператора. Спектральный радиус.
  10. Линейные ограниченные функционалы. Теорема Хана-Банаха. Аналитическое представление линейных ограниченных функционалов в пространствах H, C[ap], lp, Lp[a,b],  где 1?p??. Норма линейного ограниченного функционала.
  11. Задача о построении непрерывного продолжения линейного ограниченного функционала.
  12. Сопряженное пространство. Сопряженный оператор.
  13. Компактные операторы, их свойства.
  14. Теоремы Фредгольма для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Теорема о разрешимости линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода.
  15. Методы решения интегральных уравнений: метод последовательных приближений, методом резольвент, метод вырожденных ядер, дифференциальный метод, применение преобразования Фурье.

Специальность "Прикладная математика и информатика"

Аналитическая геометрия

1. Векторная алгебра:

Линейные операции над векторами. Координаты вектора в данном базисе. Скалярная и векторная проекции вектора на ось. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Аффинная и декартова системы координат и простейшие задачи. Преобразование декартовой системы координат на плоскости.

2. Прямая на плоскости:

Уравнения прямой по точке и ортогональному вектору; по точке и направляющему вектору (векторное, параметрические, каноническое). Уравнение прямой по двум точкам; общее уравнение и приведение его к нормальному. Расстояние от точки до прямой; отклонение точки. Уравнение с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Пучок прямых.

3. Плоскость и прямая в пространстве:

Уравнения плоскости по точке и ортогональному вектору; по точке и двум направляющим векторам; общее уравнение; нормальное уравнение. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости и отклонение точки. Пучок плоскостей.

Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой. Переход от общих уравнений к каноническим. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

4. Линии второго порядка:

Нормальное и каноническое уравнения окружности. Эллипс, гипербола, парабола; их канонические уравнения и свойства. Уравнения касательных к кривым второго порядка. Полярная система координат и простейшая связь с декартовой. Уравнения кривых второго порядка в полярной системе координат.

5. Литература:

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
  • Клетеник Д.В. сборник задач по аналитической геометрии.

Математический анализ. Теория функций комплексного переменного. Функциональный анализ.

  1. Предел функции. Методы вычисления пределов функций (применение формул сокращенного сложения и умножения, замечательные пределы, правило Лопиталя, эквивалентные функции, формула Тейлора).
  2. Производная и дифференциал функции. Техника дифференцирования.
  3. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям). Классы интегрируемых функций.
  4. Определенный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.
  5. Исследование на экстремум функций многих переменных.
  6. Двойные и тройные интегралы. Замена переменных в кратных интегралах (переход к полярным, сферическим, цилиндрическим координатам).
  7. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда.
  8. Интегрирование функций комплексного переменного по замкнутому контуру с помощью теоремы Коши о вычетах.
  9. Метрические и нормированные пространства. Линейные непрерывные операторы и функционалы, вычисление их норм.

Дифференциальным уравнениям

  1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений.
  • Общая теория линейного однородного уравнения.
  • Неоднородные линейные уравнения.
  • Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
  • Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

2. Уравнения Эйлера.

3. Системы линейных дифференциальных уравнений.

  • Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.
  • Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений.
  • Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Уравнения математической физики

Классификация ЛДУ-2, нелинейных ДУ-2, систем двух квазилинейных и ЛДУ -1. Приведение к каноническому виду ЛДУ-2 и дальнейшее упрощение ЛДУ-2 с по c тоянными коэффициентами при n =2 и при n >2. Исследование формы струны с помощью формулы Даламбера. Общее решение и решение задач Коши и Гауса методом характеристик для уравнений гиперболического типа. Восстановление гармонических функций с помощью системы уравнений Коши . Римана. Задача Дирихле в круге и вне круга для уравнения Лапласа. Решение смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов методом разделения переменных (метод Фурье).

Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятность и её свойства. Классическое определение вероятности. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема последовательных независимых испытаний Бернулли.
Случайные величины. Функция распределения случайных величин. Плотность распределения. Моменты случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Системы случайных величин. Таблица распределения, функция распределения и плотность распределения системы двух случайных величин, их свойства. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Законы распределения функций случайных аргументов. Независимость случайных величин.
Точечные оценки, несмещенность, состоятельность, эффективность. Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия. Метод моментов. Интервальные оценки, построение доверительных интервалов.

Численные методы

  1. Системы линейных алгебраических уравнений. Классификация методов решения систем. Метод Гаусса. Вычисление определителей и обращение матриц. Метод простой итерации, условия сходимости, оценка погрешности.
  2. Решение нелинейных уравнений. Метод итераций. Метод Ньютона.
  3. Аппроксимация функций. Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Погрешность интерполирования. Интерполяционная формула Ньютона. Наилучшее среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов.
  4. Задача численного интегрирования. Простейшие и составные квадратурные формулы. Формулы прямоугольников, трапеций, парабол. Оценка погрешности формул.
  5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши. Простейшие численные методы численного решения задачи Коши. Метод Эйлера. Линейная двухточечная задача для системы уравнений. Метод прогонки.

Методы оптимизации

  1. Постановка задачи линейного программирования.
  2. Решение задачи ЛП графически.
  3. Двойственная пара задач линейного программирования.
  4. Симплекс-метод.
  5. Постановка задачи нелинейного программирования.
  6. Решение задачи нелинейного программирования графически.
  7. Правило множителей Лагранжа.
  8. Теорема Куна-Таккера.
  9. Постановка задачи оптимального управления.
  10. Достаточное условие оптимальности в задаче оптимального управления.
  11. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в задаче оптимального управления.
  12. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления.
  13. Задачи вариационного исчисления с незакрепленными концами.

Дискретная математика

Логика предикатов. Высказывания. Логические связки. Таблицы истинности. Формулы. Тождественно истинные формулы. Выполнимые формулы.
Исчисление высказываний . Аксиомы. Правила вывода. Допустимые правила вывода. Теорема об адекватности исчисления высказываний логике высказываний. Эквивалентные формулы.
Логика предикатов . Кванторы. Формулы. Интерпретации. Истинность формулы при данной интерпретации. Тождественно истинные формулы. Выполнимые формулы.
Исчисление предикатов . Правила вывода. Теорема об адекватности исчисления предикатов логике предикатов.
Булевы функции . Термальные (формульные) представления булевых функций. СДНФ, СКНФ, полиномы Жегалкина. Замкнутые классы. Теорема о функциональной полноте.

Специальность "Математические методы в экономике"

Линейная алгебра

  1. Матрицы: основные операции над матрицами; линейная зависимость строк; ранг матрицы.
  2. Системы линейных уравнений: классификация; методы исключения неизвестных; вычисление обратной матрицы; однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений; неоднородная система линейных уравнений, общее и частное решение, теорема Кронекера-Капелли.
  3. Определители: основные свойства и методы вычислений.
  4. Линейные пространства; базис, теорема о базисе, координаты вектора, формула перехода к другому базису; сумма и пересечение подпространств.
  5. Евклидовы пространства: скалярные произведения и их свойства, неравенство Коши-Буняковского.
  6. Линейные преобразования: матрицы линейного преобразования, формула перехода к другому базису; ядро и образ линейного преобразования; собственные векторы и собственные значения.
  7. Группы матриц (определение, примеры, простейшие свойства).
  8. Алгебраические и трансцендентные расширения полей (определение, свойства, примеры). Теорема о присоединении корня.
  9. Многочлены от нескольких переменных (определение, примеры). Симметрические многочлены (определение, примеры). Теорема Виета.
  10. Автоморфизмы алгебраических расширений. Группа Галуа. Соответствие Галуа. Решение уравнений в радикалах.
  11. Базис Гребнера (определение, примеры). Способы построения базиса Гребнера. Теорема Бухбергера. Треугольный базис Гребнера. Системы полиномиальных уравнений с конечным множеством решений.
  12. Комплексные числа (определение, свойства). Формула Муавра. Группа комплексных корней из единицы. Свойства первообразных корней. Теорема о первообразном корне.

Математический анализ

  1. Предел функции. Методы вычисления пределов функций (применение формул сокращенного сложения и умножения, замечательные пределы, правило Лопиталя, эквивалентные функции, формула Тейлора).
  2. Производная и дифференциал функции. Техника дифференцирования.
  3. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям). Классы интегрируемых функций.
  4. Определенный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.
  5. Исследование на экстремум функций многих переменных.
  6. Двойные и тройные интегралы. Замена переменных в кратных интегралах (переход к полярным, сферическим, цилиндрическим координатам).
  7. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. 

Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятность и её свойства. Классическое определение вероятности. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема последовательных независимых испытаний Бернулли.
Случайные величины. Функция распределения случайных величин. Плотность распределения. Моменты случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Системы случайных величин. Таблица распределения, функция распределения и плотность распределения системы двух случайных величин, их свойства. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Законы распределения функций случайных аргументов. Независимость случайных величин.
Точечные оценки, несмещенность, состоятельность, эффективность. Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия. Метод моментов. Интервальные оценки, построение доверительных интервалов.

Оптимизация и модели исследования операций

  1. Постановка задачи линейного программирования.  
  2. Решение задачи ЛП графически.  
  3. Двойственная пара задач линейного программирования.  
  4. Симплекс-метод.  
  5. Постановка задачи нелинейного программирования.
  6. Решение задачи нелинейного программирования графически.  
  7. Правило множителей Лагранжа.  
  8. Теорема Куна-Таккера.  
  9. Постановка задачи оптимального управления.
  10. Достаточное условие оптимальности в задаче оптимального управления.
  11. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в задаче оптимального управления.